问题详情:
设等差数列的前项和为,且,.数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)写出一个正整数,使得是数列的项;
(3)设数列的通项公式为,问:是否存在正整数和(),使得,,成等差数列?若存在,请求出所有符合条件的有序整数对;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)设数列的首项为,公差为,由已知,有 ,……(2分)
解得,,…………(3分)
所以的通项公式为().…………(4分)
(2)当时,,所以.……(1分)
由,得,两式相减,得,
故,……(2分)
所以,是首项为,公比为的等比数列,所以.……(3分)
,…………(4分)
要使是中的项,只要即可,可取.…………(6分)
(只要写出一个的值就给分,写出,,也给分)
(3)由(1)知,,…………(1分)
要使,,成等差数列,必须,即
,…………(2分)
化简得.…………(3分)
因为与都是正整数,所以只能取,,.…………(4分)
当时,;当时,;当时,.…………(5分)
综上可知,存在符合条件的正整数和,所有符合条件的有序整数对为:
,,.…………(6分)
知识点:数列
题型:解答题