问题详情：
如图所示，
、
、
为三个质点，的质量远远大于、的质量，
和
的质量相等。已知
、之间，
、之间存在相互吸引力。、之间存在相互排斥力，三个把质点在相互间引力或斥力的作用下运动，如果作用力合适，可以存在一种如下形式的运动：
A、
、
的相对位置固定，它们构成一个平面，三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速转动；因为质点的质量远远大于、的质量，可认为该轴过质点且固定不动；连线
与转轴的夹角
与连线
与转轴的夹角
不相等，且
，
。
若之间吸引力的大小
，之间吸引力的大小为
，其中
、
分别为、与、之间的距离，
为比例系数，不计重力的影响。试问
的值在什么范围内，上述运动才能实现？
【回答】
解法1：
以
表示质点
的质点，
表示连线
与竖直方向的夹角，
表示转动角速度，
表示间排斥力的大小。根据牛顿定律有
， （1）
， （2）
， （3）
。 （4）
由（1）、（3）两式并利用（2）、（4）两式可得
。 （5）
考虑到几何关系
（6）
并利用已知
和的表示式。可由（5）得到
（7）
又，由（2）、（4）式可得
。 （8）
带入已知的
和
的表达式可得
。 （9）
联立（7）、（9）从而有
。 （10）
如果
，则意味着方程
（11）
在
区间有两个不同的解，其中
为某一合适的常数。这要求函数
在区间不能是单调函数，也就是说
和
不能同时为单调增函数或单调减函数。因此当
增大时，若增大，则应减小；反之，若
减小，则
应增大，故
与
同号。因此有
（12）
。 （13）
对
，可知
在
及
时均为零，因此
在
区间一定存在极值点，意味着方程（11）在
合适选取的情况下必有两个或两个以上的不同解。对
亦然。因此条件（12）、（13）是符合题意要求的充分必要条件。
评分标准：（1）~（4）式各1分，（6）式1分，（10）式6分，（12）、（13）式及其以下说明共4分。
解法2：
如图，设、间的排斥力是
，它们受到
的吸引力分别是、
，向心力分别是
、
，距离
分别是
、
；根据三角形的相似关系，有
， （1a）
。 （2a）
以上两式相比可得
（3a）
依题意有
， （4a）
， （5a）
， （6a）
将（4a）~（6a）代入（3a）得
。 （7a）
由（7a）得
。 （8a）
之后的讨论与“参考解答1”相同。
评分标准：考虑“参考解答1”。
知识点：物理竞赛
题型：综合题