问题详情:
已知椭圆E:的离心率,焦距为.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若分别是椭圆E的左、右顶点,动点满足,连接,交椭圆E于点.*:为定值(为坐标原点).
【回答】
(Ⅰ)解:因为, 所以. ………………1分
因为,所以. ………………3分
因为, 所以. ………………4分
所以椭圆方程为. ………………5分
(Ⅱ)方法一:
*:C(-2,0),D(2,0),
设,
则=,=. ………………7分
直线CM:,即. ………………8分
代入椭圆方程,
得,
所以. ………………10分
所以.
所以=. ………………12分
所以·=.
即·为定值. ………………13分
方法二:设,
由可得,即.
∵点在上
∴.
∴.
∴为定值.
方法三:因为直线不在轴上,故可设.
由得,
∴,即.
在直线中令,则,即.
∴.
∴为定值.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题