问题详情:
平面上,Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放,∠B=90°,AC=2CE=m,BC=n,半圆O交BC边于点D,将半圆O绕点C按逆时针方向旋转,点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB,旋转角记为α(0°≤α≤180°)
(1)当α=0°时,连接DE,则∠CDE= °,CD= ;
(2)试判断:旋转过程中的大小有无变化?请仅就图2的情形给出*;
(3)若m=10,n=8,当α=∠ACB时,求线段BD的长;
(4)若m=6,n=4,当半圆O旋转至与△ABC的边相切时,直接写出线段BD的长.
【回答】
【解答】解:(1)∵CE是半圆O的直径,
∴∠CDE=90°,
∵∠B=90°,
∴DE∥AB,
∴△CDE∽△CBA,
∴,
∵AC=2CE,BC=n,
∴CD=•CB=,
故*为90,;
(2)∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE∽△BCD,
∴=;
(3)在Rt△ABC中,
∵AC=10,BC=8,根据勾股定理得,AB=6,
在Rt△ABE中,BE=BC﹣CE=3,
∴AE==3,
由(2)知,△ACE∽△BCD,
∴,
∴,
∴BD=
(4)∵m=6,n=4,
∴CE=3,CD=2,根据勾股定理得,AB=2,
①当α=90°时,半圆O与AC相切,[来源:学科网]
在Rt△ABC中,BD==2,
②当α=90°+∠ACB时,∠BCE=90°时,半圆O与BC相切,
如图,过点E作EM⊥AB与AB的延长线于M,
∵BC⊥AB,
∴四边形BCEM为矩形,
∴BM=EC=3,ME=4,
∴AM=5,
在Rt△AME中,AE==,
由(2)知, ==,
∴BD=AE=.
即:BD=2或.
知识点:相似三角形
题型:解答题