问题详情:
设,,……,,(n为正整数)
(1)试说明是8的倍数;
(2)若△ABC的三条边长分别为、、(为正整数)
①求的取值范围.
②是否存在这样的,使得△ABC的周长为一个完全平方数,若存在,试举出一例,若不存在,说明理由.
【回答】
)解:(1)∵an=(2n+1)2﹣(2n﹣1)2
=[(2n+1)﹣(2n﹣1)][(2n+1)+(2n﹣1)]=2×4n=8n,------------2分
∵8n能被8整除,∴an是8的倍数;------------3分
(2)①由(1)可得,ak=8k,ak+1=8(k+1),ak+2=8(k+2),
∴8k+8(k+1)>8(k+2),解得,k>1,即k的取值范围是:k>1;------------5分
②存在这样的k,使得△ABC的周长为一个完全平方数,
理由:∵△ABC的周长是:8k+8(k+1)+8(k+2)=24k+24=24(k+1)=4×6×(k+1),
∴△ABC的周长为一个完全平方数,则k+1=6得k=5即可,------------7分
即当k=5时,△ABC的周长为一个完全平方数.------------8分
知识点:乘法公式
题型:综合题